trounin.ru

Всё требуется упрощать! Во всяком сложном следует видеть элементарное. Чем трудна математика? Сугубо присущей ей простотой. Нет необходимости давать представление о ней, как об излишне важном предмете, либо отстаивать её позиции в качестве инструмента обучения построению логических умозаключений. Достаточно взять «Всеобщую арифметику» Ньютона, предложить каждому самостоятельно ознакомиться с текстом, как никакой материал более не потребуется. Причина в том, что Ньютон изначально создал курс для студентов, обучая основам математики с нуля. От обучающегося требовалось запомнить числа, знаки и таблицу умножения. О прочем ему будет сообщено в столь же доходчивой форме.

Следует ещё раз сказать: всё требуется упрощать! Но не настолько, как поступают потомки Ньютона. Достаточно года обучения, а то и полугода, дабы усвоить базовую информацию, закрепляемую в последующем. Разумеется, за минувшие века алгебра значительно продвинулась, следовательно и труд «Всеобщая арифметика» устарел. Только нужно понимать математику шире, как науку — не способную отказываться от свойственных ей заблуждений. Поэтому труд Ньютона устареть не может. Наоборот, благодаря ему все прежние знания были изложены в удобной для понимания форме в виде единой монографии. Никто уже не сможет отказаться от сделанных Ньютоном заключений, вынужденный с ними соглашаться.

Ещё не объяснив правил сложения, вычитания, умножения и деления, Ньютон даёт представление о числах, разделив их на целые, дробные и иррациональные. Тут же объясняет, почему одни неизвестные величины обозначаются первыми буквами латинского алфавита, а другие величины — последними буквами. Старается объяснить возведение числа в степень и извлечение числа из степени.

Сложение — действие очевидное. Ньютон объясняет, как слагать столбиком. Далее он аналогично учит столбиком вычитать, умножать и делить. Причём, оказывается, в столбик могут быть вписаны не простейшие примеры из целых или дробных чисел, а объёмные математические выражения, вызывая волнение у неофита. Но такие примеры Ньютон сообщит позже, пока же он даёт общее представление, показывая арифметику в качестве подчинённого закономерностям предмета.

При стремлении понять умножение, арифметика начинает усложняться. Даются правила, которых следует придерживаться. При этом, всё равно, всякая сложность требует упрощения. Для того математика и предстаёт в сложных примерах, дабы суметь убрать лишнее, сделав из трудного элементарное. Достаточно приложить правила, как тяжёлая конструкция приобретает вид всем понятного.

Извлечение корней даёт понимание ещё одной сложности решения математических примеров. И для этого Ньютон предлагает прибегнуть к вычислению столбиком. Для всех действий обязательно существует инструмент, позволяющий добиться требуемого результата. И всё-таки, снова следует оговориться, когда кто-то возводит число в степень, кому-то требуется извлечь число из данной степени. Размышляя проще, всякое действие может быть подвергнуто обратному процессу.

Продолжая усложнять, Ньютон более упрощает: сокращает дроби, отыскивает делители, приводит дроби к общему знаменателю, приводит радикалы к простейшем виду и к общему показателю. Лучше всего упрощению помогает создание уравнений, для чего в тексте «Всеобщей арифметики» сформулировано семь правил:
— 1. Число членов уменьшается за счёт уничтожающихся взаимно величин или путём объединения величин, складывая или вычитая их;
— 2. Разделить помноженное, либо умножить разделённое, если помножено или разделено соответственно на одну величину;
— 3. Буквенный знаменатель в неприводимой дроби полагается помножить на все члены уравнения или один из его делителей;
— 4. Если буква под неприводимым радикалом, то перенести члены на другую сторону с обратными знаками. Если корень квадратный — помножить члены на самих себя. Если корень кубический — помножить члены на самих себя дважды;
— 5. Всё уравнение разделить на известную величину, ежели она оказывается на оную умноженной;
— 6. Порою допустимо разделить уравнение на составную величину;
— 7. Порою достаточно извлечения из корней по обе стороны уравнения.

Для усвоения студентами означенных в тексте арифметических правил Ньютон дополнил курс лекций задачами. Остаётся пожелать пробуждения интереса к математике каждому. Пусть лучшей головоломкой станет решение алгебраических примеров. Может тогда сбудутся мечты пифагорейцев, либо математика действительно будет восприниматься в качестве наднауки — созданной из ничего, но способной объяснить всё.

Автор: Константин Трунин

» Read more

Чтобы понять, почему предположения Ньютона следует считать истинными, нужно ознакомиться с приводимыми им правилами для умозаключений в физике. Исходить приходится из понимания достижений науки на определённый момент времени. Более имеющегося Ньютон брать не предлагает. Нельзя уходить в измышлениях в доселе скрытые материи. Всё требуется объяснять посредством проведённых опытов. Ньютон провёл оные, о чём написаны первая и вторая книги, подготовив доказательства для обоснования собственной системы мира.

Происходящее в небесном пространстве неизменно повторяется. В ходе наблюдений предыдущими поколениями были выработаны определённые результаты. Осталось их соотнести с влиянием на космические объекты центростремительных сил. Далее понимания устройства Солнечной системы Ньютон не размышляет. Он опирается на наблюдения за Солнцем, Меркурием, Марсом, Венерой, Юпитером, Сатурном, их спутниками, Луной и Землёй. Отсюда проистекают явления, последовательно излагаемые Ньютоном, начиная от соотношения спутников Юпитера к неподвижным звёздам, вплоть до движения Луны, учитывая либрацию.

Суть данных наблюдений — необходимость доказать, что Земля не является центром Вселенной. Если вокруг Юпитера и Сатурна обращаются спутники, значит должны быть сделаны соответствующие выводы, согласно которым станет ясно, насколько необходимо усомниться в геоцентрической системе мира. Если соотносить движение планет касательно Солнца, получается логически выверенный ряд повторяющихся событий. Стоит соотнести движение планет с Землёй, то ничем иным, кроме хаотических перемещений объяснить их не получится. Ньютон не говорит о том прямо, но строит суждения так, чтобы его точка зрения стала наиболее понятной.

Ньютон соотносит все космические объекты друг с другом. Разрабатывает о том теории. Луна тяготеет к Земле, как тяготеют спутники к прочим планетам. К Земле тяготеют любые предметы, как наличие тяготения относится ко всем телам вообще. Тяготение пропорционально убывает, чем ближе центр. Но движение планет в небесном пространстве может сохраняться долгое время. Согласиться с Ньютоном возможно — Вселенная представляет собой отлаженный механизм, всё в нём взаимосвязано, резких изменений не случается. При желании глубже вникнуть в систему мира Ньютона сталкиваешься с сопротивлением в виде его же слов, поскольку понять силы притяжения не получается, для того достаточно усомниться в существовании определённых точек, являющихся центрами.

Должен существовать центр Вселенной, причём находящийся в состоянии покоя. В этом Ньютон твёрдо уверен. Солнце, допустим, не находится в состоянии покоя — оно не может быть центром всего. Планеты равномерно движутся по эллипсам, имеющим свой фокус в центре Солнца, их афелии и узлы орбит неподвижны. Понятно, Ньютон подводил свою систему мира хотя бы под понимание гелиоцентрической. Опять же, что должен представлять из себя центр?

Беря для рассмотрения Землю, Ньютон пришёл к выводу, что сила притяжения в разных местах имеет отличия, она зависит от отношения при измерении к экватору. Галлей аналогично доказал разный ход времени — ближе к экватору часы идут медленнее. Выработать определённую точку зрения не получится, ибо нельзя учесть все необходимые факторы. А Ньютон, согласно его правилам умозаключений, позволял себе опираться только на ставшее ему известным. Поэтому он постоянно возвращается к содержанию предыдущих книг.

Другим средством познания природы сил тяготения служит наблюдение за приливами и отливами, порождаемыми притяжением Луны и Солнца. Ньютон был серьёзно озадачен, предлагал различные задачи, искал ответ и находил его. Так Ньютон определил, что Луна всегда повёрнута к Земле одной и той же стороной.

В третьей книге Ньютон сообщает известную ему информацию о комете Галлея, присутствовавшую на небосклоне с 4 ноября 1680 по 9 марта 1681. Траектория её движения дала повод к размышлениям, в том числе и выработке нового мнения о системе мира. Так родились «Математические начала», прочее же стало историей. Кроме кометы Галлея, она ещё не раз вернётся.

Автор: Константин Трунин

» Read more

Если предположить, что силы тяготения не существует, а все тела во Вселенной движутся по инерции, то к каким выводам сии рассуждения могут привести? Придётся изменить понимание абсолютного состояния, введя дополнительные интересующие физическую науку особенности действительности. Ньютона прежде всего интересует сопротивление сред, в которые попадает тело. Будучи практиком, он не раз наблюдал преломление солнечных лучей в воде, о чём расскажет в труде «Оптика». Вода также послужила основой для опытов, проводимых для наполнения второй книги «Математических начал».

Ньютон погружал в воду маятник и шары различной величины, замерял время погружения, высчитывал скорость волн. После использовал геометрию и обосновывал увиденное. Почему вода действует на передвижение тел в пространстве иначе? Вычислив необходимое, Ньютон получил возможность опираться не только на наблюдения в привычной среде, найдя необходимые коэффициенты, которые он сможет применить относительно небесной механики.

Имея два значения, с большой долей правдивости сможешь определить неизвестное третье. Поскольку небесное пространство продолжало хранить тайны, оставаясь недоступным для экспериментов, Ньютон отложил его понимание до третьей книги. Ему требовалось обосновать движение кометы Галлея посредством центростремительных сил, опровергнув тем самым теорию вихрей Декарта. Чего в природе нельзя наблюдать, того нельзя умом постигнуть и осознать, поэтому Ньютон отложил решение важного вопроса, продолжая изучать сопротивление воды на движущиеся тела.

Ньютона интересует следующее:
» — Движение тел при сопротивлении, пропорциональном скорости;
— Движение тел при сопротивлении, пропорциональном второй степени скорости;
— Движение тел при сопротивлении, частью пропорциональном первой степени скорости, частью — второй;
— Круговое обращение тел в сопротивляющейся среде;
— Плотность и сжатие жидкостей и гидростатика;
— Движение маятников при сопротивлении;
— Движение жидкостей и сопротивление брошенных тел;
— Движение, распространяющееся через жидкости;
— Круговое движение жидкостей.»

Для Ньютона природа самодостаточна. Всё подчиняется определённым закономерностям. Понять проще, проведя предварительно наблюдения. Познавать можно лишь на том уровне, на котором это доступно. Ньютон мог прибегнуть лишь к сравнительному анализу, соотнося увиденное на небе с происходящим в воде. У него не было иных инструментов для познания мира, кроме сделанных им самостоятельно. Истинный учёный не просто стремится познать мир с помощью до него разработанных методов, он изобретает собственные или мыслит глубже, нежели предшественники.

В том нет ничего нового, как и Ньютон, древние философы соотносили находящееся вне понимания с тем, что им было ведомо. Так рождалось знание, способствующее дальнейшему изучению окружающей человека материи. Позже научные изыскания оказались связанными религиозными предрассудками: что-то было уничтожено и навсегда забыто, чему-то предстояло быть изученным вновь, а чему-то более никогда не дано стать достоянием человечества. Сам Ньютон не мог сказать слово против церкви, допуская в предположениях, будто Земля является центром Вселенной, либо таковым центром является Солнце. Всё это он объясняет в третьей книге.

Вторая книга — сугубо плод наблюдений и только. Частично воссоздать действительность можно в иной среде. Пусть таковой станет вода. Притяжение в отношении воды взаимодействует с телами иным образом. Как влияет сопротивление на шары разного размера? Как ведёт себя маятник под водой? Несоответствие с падением шаров и движением маятника в привычной человеку среде очевидно. Над содержанием второй книги стоит задуматься на краткий миг, усвоив существование различных закономерностей в доступном человеку пространстве.

Ежели тела не повсеместно ведут себя одинаково, значит можно смело говорить о существовании иных сред. Без второй книги Ньютон не смог бы уверенно говорить о системе мира. Основы для понимания им были заложены. Настала пора перейти к знакомству с главной частью «Математических начал».

Автор: Константин Трунин

» Read more

В третьей книге Ньютон скажет, что нет нужды вчитываться и разбираться в содержании первой и второй книг. Для понимания его предположений достаточно ознакомиться с предлагаемыми им определениями и первыми тремя отделами первой книги, чтобы сразу непосредственно перейти к ознакомлению с третьей книгой, ибо именно её содержание является важным и определяющим для «Математических начал». Такое предложение от Ньютона звучит вполне разумно, учитывая построение труда.

Структура «Математических начал» следующая: книга содержит отделы, отделы разделены на леммы, предложения, теоремы, задачи. Такая структура характерна для первой и второй книг. Более содержание следует сравнивать с учебником, в котором каждый отдел представляет из себя параграф, содержимое которого нужно усвоить. Но так как Ньютон к тому не призывает, наоборот просит излишне не вникать, поэтому не следует уделять чрезмерное внимание логическим суждениям. Важнее понять о чём Ньютон хотел сказать. Ежели им нечто сказано, значит считается доказанным. Безусловно, это спорно. Попробуйте опровергнуть ход рассуждений Ньютона. Не получится! Можно подвергать сомнению в общем, в деталях же Ньютон опирался непосредственно на наблюдения. Оттого много в тексте лемм.

Чтобы понять, как происходит движение тел, Ньютон в первой книге предлагает на примере находящегося в состоянии покоя тела, проработать различные ситуации. Понятно, тело не может пребывать в состоянии покоя, поскольку оно всегда находится в движении. Ньютон использует обыкновенный математический приём, помещая тело в воображаемое пространство, где возможно достижение состояния абсолютного покоя. Данный подход мог вызвать основные нарекания оппонентов. Но каким тогда образом говорить о взаимодействии множества движущихся тел? Рассуждения окажутся слишком сложными для понимания. Они запутают всех, в том числе и самого Ньютона. По данной причине требуется сперва проработать основные моменты. С другой стороны, если человек не верит в существование сил притяжения, то он не станет верить в геометрические доказательства.

Ньютон просит уделить внимание первым трём отделам. Они звучат следующим образом:
» — О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается;
— О нахождении центростремительных сил;
— О движении тел по эксцентричным коническим сечениям.»

Важно следующее, состояние покоя может быть охарактеризовано равностью сообщаемых телами сил. Из этого получается, что взаимодействуя друг на друга, тела остаются на прежнем месте. Конечно, движение происходит. Как Луна постоянно отдаляется от Земли, притягиваемая Солнцем, так, возможно, и Земля притягивается Солнцем, только медленнее. Этот процесс не так заметен глазу, чтобы на нём делать акцент. Все тела притягивают друг друга одновременно. Но отбросим лишние мысли, поняв главное, в первой книге Ньютон рассматривает именно тело в состоянии абсолютного покоя.

Стоит предположить, что неподвижное тело понадобилось Ньютону для доказательства не столько центростремительной силы, сколько показать принуждённость одних тел двигаться касательно других. Ежели к исследованию Ньютона побудила комета Галлея, хоть и пребывающая в движении преимущественно относительно Солнца, то неосознанно она воспринимается находящейся в состоянии покоя, как в таком же состоянии воспринимается само Солнце. Оба космических объекта взаимодействуют посредством центростремительных сил.

В дальнейшем Ньютона интересует следующее:
» — Определение эллиптических, параболических и гиперболических орбит при заданном фокусе;
— Нахождение орбит, когда ни одного фокуса не задано;
— Определение движения по заданным орбитам;
— Прямолинейное движение тел к центру или от центра;
— Нахождение орбит, по которым обращаются тела под действием каких угодно центростремительных сил;
— Движение тел по подвижным орбитам и перемещение апсид;
— Движение тел по заданным поверхностям и колебательное движение подвешенных тел;
— Движение тел, взаимно притягивающихся центростремительными силами;
— Притягательные силы сферических тел;
— Притяжение тел не сферических;
— Движение весьма малых тел под действием центростремительных сил, направленных к отдельным частицам весьма большого тела.»

Становится понятно, к чему стремился Ньютон. Он шёл от простого к сложному. Сначала в общих чертах о малом и неясном, после о конкретном и определённом. Каждая точка или частица во Вселенной обладает центростремительной силой. Ньютон не знает, почему притяжение вообще существует. Оно есть, доказывается наблюдениями и опытами, но объяснения ему нет. Рассуждать о том можно, только это уже перейдёт в плоскость философии, чем Ньютон заниматься не планировал. Вполне может быть и так, что само определение «центростремительная сила» не является правильным, вследствие чего в дальнейшем Ньютон предпочтёт называть эту силу притяжением.

Автор: Константин Трунин

» Read more

Чтобы познать мир, нет необходимости измышлять новое, фантазировать и предполагать нечто, не опираясь на конкретные примеры. Чем озадачены философы, того избегают в суждениях физики. Собственно, натуральная философия — это и есть физика. Так она ранее называлась. Возникает вопрос: что предложил Ньютон современникам, чего до него не знали? Ответ прост — ничего не предложил. В построении предположений им использовались научные изыскания предыдущих поколений учёных и философов. Ньютон постарался математически доказать верность одних теорий и указать на вздорность других. Прежде, чем перейти к непосредственному доказательству, потребовалось ввести в общий курс определений, не вызывающих сомнений. Этому посвящены первые страницы «Математических начал».

Но прежде необходимо заметить, как трудно давалась современникам уверенность в правоте доказательств Ньютона. Именно об этом говорилось в предисловиях к прижизненным изданиям «Математических начал». Что может быть проще, нежели объективно поведать об объективном, изложив сие же объективное объективными примерами? Куда примитивней могут быть примеры, нежели Ньютон предлагал? Современники продолжали сомневаться. Причина того должна быть понятна — Ньютон доказывал, исходя из собственных определений, когда также могли из них исходить иные деятели науки и философии. Требуется согласиться с оппонентами Ньютона, понимая, насколько сложен предмет познания мира. Вдруг окажется, что Ньютон всё-таки ошибался?

Впрочем, Ньютон не мог ошибаться. Он мог мыслить в правильном направлении. Отражая в «Математических началах» результаты наблюдений и экспериментов, опиравшихся на определённые математические закономерности. Если его предположения подтверждались, значит они достойны считаться похожими на правду. Не будем излишне категоричными, наука постоянно движется вперёд, разрабатываются революционные теории, когда-нибудь всё знаемое нами о мире будет перечёркнуто и создано действительно невероятное понимание устройства бытия. К тому человек стремится — то для него есть хорошо.

Созданию «Математических начал» поспособствовало повсеместное наблюдение за кометой в 1680-1681 годах, названной в честь Эдмунда Галлея. Данная комета известна со времён Аристотеля. Используя множество источников, Ньютон выработал собственное понимание небесной механики, для чего ему потребовалось провести ряд опытов, ставших основой для первой и второй книг, трудных в понимании, если не соотносить их с третьей книгой, в которой Ньютон, опираясь на свои же доказательства, вывел отчасти новое видение космогонии.

Важным оказалось то обстоятельство, что быть твёрдо уверенным в убеждениях Ньютон не мог, осознавая, насколько зависит его жизнь от воли церкви. Отсюда осторожные уверения в личной правоте и согласие с позицией христианских догматов. «Математические начала» получились трудом о наблюдениях. И только о наблюдениях. Поэтому Ньютон не грешил против истины, не оскорблял чувства верующих, не опровергал сложившееся в обществе понимание мироустройства, всего лишь доказывая очевидное. Коли тело падает, причём падает согласно закономерностям, то нет в том ничего противного Богу. И коли тело не падает, оставаясь на предназначенном ему месте, то и в том нет ничего противного Богу.

Для работы над первой и второй книгами Ньютону потребовалось ввести в содержание «Математических начал» уже известные истины. Например, Эдмунд Галлей доказал, что брошенное тело движется по параболе. Иные учёные разработали понимание удара и отражения тел. Сам Ньютон успешно использовал объяснение сходящихся и взаимоударяющихся тел с помощью маятника. То есть требовалось проявить усидчивость, сделать выводы из увиденного и, соотнеся с действительностью, разработать определения для облегчения в проведении последующих опытов.

Определения и ныне понятны каждому человеку. Об этом не приходится задумываться, так как оно кажется наиболее логичным:
» — Количество материи есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её;
— Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе;
— Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения;
— Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения;
— Центростремительная сила есть та, с которой тела к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся;
— Абсолютная величина центростремительной силы есть мера большей или меньшей мощности самого источника её распространения из центра в окружающее его пространство;
— Ускорительная величина центростремительной силы есть мера, пропорциональная той скорости, которую она производит в течение данного времени;
— Движущая величина центростремительной силы есть её мера, пропорциональная количеству движения, которое ею приводится в течение данного времени.»

Эти определения разработаны не Ньютоном, но именно на них он опирался в опытах. Но опыты им проводились не совсем по свойственным природе закономерностям, поскольку для доказательства некоторых определений требовалось прибегнуть к пониманию абсолюта, то есть среды, в которой, допустим, волчок будет крутиться бесконечно. Эмпирический путь познания Ньютона оттого кажется превратным. Искажается понимание истинных времени и пространства, а также связанного с ними понимания определённого движения в определённом месте.

В отношении Вселенной другим образом мыслить не получиться. Все тела пребывают в постоянном движении, по этой причине нельзя говорить о возможности существования состояния покоя, как если не брать его в абсолютном понимании находящегося вне любого движения. Ньютон это понимал как систему взаимодействия частей целого, когда движение сохраняется во всём, но относительно друг друга. Значит, состояние покоя в действительности всё-таки возможно, хоть и при сохраняющемся постоянно движении. Получается, использование абсолюта в наблюдениях не является превратным.

Так возникли три закона движения (аксиомы):
» — Всякое тело продолжает удерживаться в своём состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами измерять это состояние;
— Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует;
— Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.»

В дальнейшем Ньютон с помощью геометрии (и более ничего ему для доказательства предположений не требовалось) приступил к наглядному применению доступных ему первичных наблюдений. Раскручивал ли он на верёвке сосуд с водой, бросал ли тело, запускал маятник при различных обстоятельствах, всё наглядно отображал с помощью начертания и доступно (не всем, конечно!) объяснял, почему происходит то или иное явление.

Автор: Константин Трунин

» Read more